yahoo!のUI用Javascript

米yahoo!から、UI用Javascriptがリリースされたようです。
http://developer.yahoo.com/yui/
BSDライセンスなので、仕事でも自由に使うことが出来ます。
時間があれば、サンプルを作りつつ、詳細まで調査したいところです。

結局何が解かったのか

四則演算について~終わり

そもそもは、オイラーの公式が表しているものを具体的に
掴めないことから始まって、
eのi乗ってどんな演算？
「公式」と名前がついてるけれど、むしろ定義なのでは？
という感覚を裏付けることが目的でした。
正の整数で把握している演算を把握し直して、負の数や虚数まで拡張する
ことを繰り返していけば、e^iもある程度イメージが出来て、
e^2やe^(-3)などの拡張として把握できると考えました。
途中で挫折したけれど。

もとに戻って、i乗に対するイメージの中ではっきりしているもの
を考えると、「i乗のi乗は-1乗」です。
式にすれば、(e^it)^i=e^(-t)。
ここで、オイラーの公式を証明済みとして受け入れて、
この式の左辺に代入すれば、
(cos(t) + i*sin(t))^i=e^(-t)
となります。
tに0,2pi,4piを代入してみます。
1^i=1
1^i=0.001867...
1^i=0.000003...
おかしなことになりました。
左辺は周期関数のi乗で、右辺は単調減少関数なので、
代入するまでもなく式が不適切なようです。
「i乗のi乗は-1乗」が間違ったイメージなのでしょうか。

結局、オイラーの公式にあるeのi乗は、私にはイメージできない何か不思議な
演算を表しているか、特定の複素数をe^iと表現すると表記が便利になるという
ことが解かったのでした。

アクロバットに微分してみる

四則演算について~その７

複素数の微分は実数と同じにできると信じて、
(-1)^x = cos(x*pi) + i*sin(x*pi)
の両辺をxで微分してみると、
(-1)^x*log(-1)
= -sin(x*pi)*pi + i*cos(x*pi)*pi
= i*pi*(cos(x*pi) + i*sin(x*pi))
= i*pi*(-1)^x
になります。

log(-1)=i*pi は書き直すと e^(i*pi) = -1 になるので、
これを最初の式に入れると、
(-1)^x
= (e^(i*pi))^x
= e^(i*pi*x)
= cos(x*pi) + i*sin(x*pi)
x*piをtと置き直せば、
e^(i*t) = cos(t) + i*sin(t)
となって、オイラーの公式と重なります。

割り算をすっ飛ばして

四則演算について~その６

完全に解かっていたつもりの四則演算も、はじめから把握し直してみると、
実はきちんと理解していなかったことに気づきました。
モヤモヤしている考えを整理するは、新たな発見があり面白いものです。
でも、、、そろそろ飽きてきてしまいました。
Adsenseも、いつのまにか「Fortran統合開発環境」やら「Java で高速 数値 演算」に。

このままの調子で進めても、オイラーの公式に至るには道が長そうなので、
一気に虚数iまで飛ばしてしまいます。

i=(-1)^(1/2) と定義されるので、「-1は向きの反転」と同様に解釈すれば、
「iは向きの４分の１回転」となります。+1を→、-1を←とするなら、iは↑。
矢印が右向きから反時計回りに回るイメージです。
このイメージを複素平面で表現すると、
(-1)^x = cos(x*pi) + i*sin(x*pi)
となります。
cosとsinなのは、回転を表す周期関数として都合がよさそうだから。
pi(=3.141592...)を掛けるのは、周期を2とするためです。
イメージなので、正確さはありませんが、もう気にしません。

割り算の前に、掛け算の再定義

四則演算について~その５
石橋を叩くように自分の理解を整理していくと、小学校のころ
納得がいかなかった事がいろいろあったことを思い出します。

さて、割り算の定義には、新しい概念が不要かと思っていましたが、
そんなに単純ではなさそうです。
掛け算を加減算の繰り返しと考えると、反対は(-1)を掛けることになり
割り算は出てきません。

掛け算をもう少し概念的に拡張して
「向きを含めた単位の変換」
と定義し直します。

「操作の繰り返し」比べると、2*3 が 3*2になるような転換がありますが、
そこら辺は気にしないことにします。