結局何が解かったのか

四則演算について~終わり

そもそもは、オイラーの公式が表しているものを具体的に
掴めないことから始まって、
eのi乗ってどんな演算？
「公式」と名前がついてるけれど、むしろ定義なのでは？
という感覚を裏付けることが目的でした。
正の整数で把握している演算を把握し直して、負の数や虚数まで拡張する
ことを繰り返していけば、e^iもある程度イメージが出来て、
e^2やe^(-3)などの拡張として把握できると考えました。
途中で挫折したけれど。

もとに戻って、i乗に対するイメージの中ではっきりしているもの
を考えると、「i乗のi乗は-1乗」です。
式にすれば、(e^it)^i=e^(-t)。
ここで、オイラーの公式を証明済みとして受け入れて、
この式の左辺に代入すれば、
(cos(t) + i*sin(t))^i=e^(-t)
となります。
tに0,2pi,4piを代入してみます。
1^i=1
1^i=0.001867...
1^i=0.000003...
おかしなことになりました。
左辺は周期関数のi乗で、右辺は単調減少関数なので、
代入するまでもなく式が不適切なようです。
「i乗のi乗は-1乗」が間違ったイメージなのでしょうか。

結局、オイラーの公式にあるeのi乗は、私にはイメージできない何か不思議な
演算を表しているか、特定の複素数をe^iと表現すると表記が便利になるという
ことが解かったのでした。