アクロバットに微分してみる

四則演算について~その７

複素数の微分は実数と同じにできると信じて、
(-1)^x = cos(x*pi) + i*sin(x*pi)
の両辺をxで微分してみると、
(-1)^x*log(-1)
= -sin(x*pi)*pi + i*cos(x*pi)*pi
= i*pi*(cos(x*pi) + i*sin(x*pi))
= i*pi*(-1)^x
になります。

log(-1)=i*pi は書き直すと e^(i*pi) = -1 になるので、
これを最初の式に入れると、
(-1)^x
= (e^(i*pi))^x
= e^(i*pi*x)
= cos(x*pi) + i*sin(x*pi)
x*piをtと置き直せば、
e^(i*t) = cos(t) + i*sin(t)
となって、オイラーの公式と重なります。